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含有超顺磁的软磁性材料的热力学性质纳米颗粒冻的节点定期立方晶格

文摘

这项工作是致力于软磁材料的热力学性质的研究,积极应用于技术和医学。数学模型假设磁性纳米粒子嵌入到常规的立方晶格的节点,所以粒子平移自由度是关闭和机械布朗粒子的旋转是不可能的。粒子的反应奈尔的外部磁场发生机制由于其在纳米粒子磁矩转动。简单的轴分布根据特定配置:这些都是一致的(我)平行或(ii)垂直于外磁场的方向。这些模型研究了使用这两种理论和计算机模拟。的理论方法是基于修改维里展开的方法,我们可以确定亥姆霍兹自由能的解析表达式,静态磁化,初始磁化率。这些特征与数值计算结果在一个好的协议在该地区的低和适度的价值观取向颗粒间的相互作用和各向异性强度的能量势垒。

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引用

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资金

响亮的,S.S. and E.E. received research funding from the Russian Foundation for Basic Research (Project No. 20-02-00358). A.I. received research funding from the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Ural Mathematical Center Project No. 075-02-2021-1387).

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对应到Ekaterina Elfimova

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的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

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附录

附录1。并行配置

对于并行配置,平均系数的结果b1,b2,b3在磁矩取向可以写成:

数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} b_ {1} & = & 2 {Q_{1} ^{2}}(α\ \σ)\ gamma_{12}, \{数组}$ $
中的步骤(A1.1)
数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} b_{2} & = & \压裂{36}{35}{Q_{2} ^{2}}(α\ \σ)\ gamma_{24} \ \ & & + \压裂{2}{3}Q_{2}(σ\α,\)\左(1 - \压裂{Q_{2}(α\ \σ)}{7}\)\ gamma_{22} \ \ & & + \压裂{1}{3}\离开(1 + \压裂{{Q_{2} ^{2}}(α\ \σ)}{5}\)\ gamma_{20}, \{数组}$ $
(A1.2)
数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} b_{3} & = & \压裂{6}{77}\大(3 Q_{1}(\α,\σ)- 5 Q_{3}(α\ \σ)\大)^ {2}\ gamma_{36} \ \ & & + \压裂{18}{11}左(\ \压裂{4 Q_{1}(\α,\σ)Q_{3}(α\ \σ)}{5}- \压裂3 {{Q_{1} ^{2}}(α\ \σ)}{7}\。\ \ & & \离开了。\ qquad \四- \压裂{{Q_{3} ^{2}}(α\ \σ)}{7}\)\ gamma_{34} \ \ & & + \压裂{1}{7}\离开(3 {Q_{1} ^{2}}(\α,\σ)+ {Q_{3} ^{2}}(α\ \σ)\)\ gamma_{32} \ \ & & + \压裂{1}{42}\境(\压裂{6 Q_{1}(\α,\σ)Q_{3}(α\ \σ)}{5}+ 3 {Q_{1} ^{2}}(α\ \σ)\ \ & & \ qquad \四- {Q_{3} ^{2}}(α\ \σ)\境)\ gamma_{30}, \ \ \ \ \ \ \{数组}$ $
(A1.3)

介绍了几个函数,在哪里

数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} Q_{1}(\α,\σ)& = & \压裂{1}{2 Q_{0}(α\ \σ)}\ int \ limits_ {1} ^ {1} \ ! \ exp \ !左(\ \ασt + \ t ^{2} \右)t \ d t, \{数组}$ $
(A1.4)
数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} Q_{1}(\α,0)& = & Lα(\)\ \ L(\α)& = & \双曲余切\α- \压裂{1}{\α}\ \ Q_{2}(\α,\σ)& = & \压裂{3}{4 Q_{0}(α\ \σ)}\ int \ limits_ {1} ^ {1} \ exp \离开(t + \ \ασt ^{2} \右)t ^ {2} \ d t \ \ & & - \压裂{1}{2},{数组}\结束美元美元
(A1.5)
数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} Q_{2}(\α,0)& = & L_{3}α(\)\ \ L_{3}(\α)& = & 1 - 3 \压裂{L(\α)}{\α}\ \ Q_{3}(σ\α,\)\ ! \ & = & \ \ ! ! !\压裂{1}{2 Q_{0}(α\ \σ)}\ !int \ \ limits_ {1} ^ {1} \ exp \离开(t + \ \ασt ^{2} \右)t ^ {3} d t, \ \ \ \ \ \ \ \ Q_{3}(\α,0)& = lα(\)\压裂{2}{\α}L_{3}(\α)。\{数组}$ $
(A1.6)

这些数字γp涉及位置相关的和表达式节点的立方晶格,受限于缸大小:

数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} \ gamma_ {pq} & = & \总和\ limits_ {j = 2} ^ {N} \压裂{1}{\波浪号{r} _ {1 j} ^ {3 p}} P_ {q} \离开(\压裂{\波浪号{z} _ {1 j}}{\波浪号{r} _ {1 j}} \右),\{数组}$ $
(A1.7)

这个定义介绍了无因次颗粒间的分离向量r \(\波浪号{\ textbf {}} _ {1 j} = \ textbf {r} _ {1 j} / \),在那里\ \(波浪号{z} _ {1 j} \)z分量的向量r \(\波浪号{\ textbf {}} _ {1 j} \)在实验室坐标系图所示。1P(= 0、2、4、6)(A1.7)表示勒让德多项式。它假定纳米颗粒1是固定在实验室坐标系的原点。所有其他的节点简单立方晶格除了\((\波浪号{x} _ {1}, {y} _{1} \波纹线,\波浪号{z} _{1}) \枚(0,0,0)\)可以被纳米粒子j

数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} - R \ leq & \波浪号{x} _ {j} \ leq & R \ \ - R \ leq & \波浪号{y} _ {j} \ leq & R \ \ - h R \ leq & \波浪号{z} _ {j} \ leq & h R \ \ \离开(\波浪号{x} _ {j} \右)^{2}+ & \离开(\波浪号{y} _ {j} \右)^ {2}& \ leq R ^{2}, \ \ \离开(\波浪号{x} _ {j} \右)^{2}+ & \离开(\波浪号{y} _ {j} \右)^{2}& + \离开(\波浪号{z} _ {j} \右)^ {2}> 0。\{数组}$ $
(A1.8)

油缸有限的无量纲半径R身高2h。的结果γp获得了模型系统25 \ \ (N \ simeq乘以10 ^ {6}\)纳米粒子是γ12= 2.0944,γ24= 3.2257,γ22=γ32= 0,γ20.= 8.4016,γ36= 0.6553,γ34= 3.4081,γ30.= 6.6289。

附录2。垂直的配置

对于垂直配置,平均系数的结果b1,b2,b3在磁矩取向可以写成:

数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} b_1 & = & 2 R_1 ^ 2(α\ \σ)\ epsilon_{1},{数组}\结束美元美元
中的步骤(A2.1)
数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} b_2 & = & \离开(R_2 ^ 2(\α,\σ)+ 3 R_3 ^ 2(\α,\σ)- 2 R_3(α\ \σ)+ 1 \)\ epsilon_{2} \ \ & + & \压裂{9}{4}\离开(2 R_3(α\ \σ)- 3 R_3 ^ 2(\α,\σ)——R_2 ^ 2(\α,\σ)+ 1 \)\ epsilon_{3} \ \ & + & \压裂{9}{4}\ epsilon_{4}, \{数组}$ $
(A2.2)
数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} b_3 & = & \压裂{4}{3}R_5 ^ 2(α\ \σ)\ epsilon_{4} \ \ &左+ & 4 \ [(R_4(\α,\σ)——R_5(\α,\σ))^ 2 + R_6 ^ 2(α\ \σ)\]\ epsilon_{5} \ \ & + & 18大\ [R_4 ^ 2(\α,\σ)+ R_6 ^ 2(\α,\σ)+ R_5(\α,\σ)R_6(σ\α,\)\ \ & & R_4(\α,\σ)R_5(α\ \σ)\]大\ epsilon_ {6} \ \ & + & 9 (R_4(\α,\σ)——R_5(\α,\σ))R_6(α\ \σ)\ epsilon_{7}, \{数组}$ $
(A2.3)

介绍了附加功能是在哪里

数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} R_{1}(\α,\σ)& = &左\ [R_{0}(σ\α,\)\]^ {1}\ \ & \ * & \ int \ limits_ {0} ^ {1} \ exp \离开(σ\ t ^{2} \右)I_{0} \左\α\√{1 - t ^ {2}} \) \√6 {1 - t ^ {2}} d t, \ \ \{数组}$ $
(A2.4)
数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} R_{1}(\α,0)& = lα(\)\ \ R_{2}(\α,\σ)& = &左\ [R_{0}(σ\α,\)\]^ {1}\ \ & \ * & \ int \ limits_ {0} ^ {1} \ exp \离开(σ\ t ^{2} \右)I_{2} \左\α\√{1 - t ^{2}} \) \离开(1 - t ^{2} \右)d t, \ \ \{数组}$ $
(A2.5)
数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} R_{2}(\α,0)& = & L_{3}α(\)\ \ R_{3}(\α,\σ)& = &左\ [R_{0}(σ\α,\)\]^ {1}\ \ & \ * & \ int \ limits_ {0} ^ {1} \ exp \离开(σ\ t ^{2} \右)I_{0} \左\α\√{1 - t ^{2}} \右)t ^ {2} d t \{数组}$ $
(A2.6)
数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} R_{3}(\α,0)& = & \压裂{L(\α)}{\α}\ \ R_{4}(\α,\σ)& = &左\ [R_{0}(σ\α,\)\]^ {1}\ \ & \ * & \ int \ limits_ {0} ^ {1} \ exp \离开(σ\ t ^{2} \右)I_{1} \左\α\√{1 - t ^ {2}} \) \√6 {1 - t ^ {2}} ^ {3} d t, \ \ \{数组}$ $
(A2.7)
数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} R_{4}(\α,0)& = & Lα(\)\压裂{L_{3}(\α)}{\α}\ \ R_{5}(\α,\σ)& = &左\ [R_{0}(σ\α,\)\]^ {1}\ \ & \ * & \ int \ limits_ {0} ^ {1} \ exp \离开(σ\ t ^{2} \右)I_{3} \左\α\√{1 - t ^ {2}} \) \√6 {1 - t ^ {2}} ^ {3} d t, \ \ \ \ R_{5}(\α,0)& = & L(\α)- 2 \压裂{L_{3}(\α)}{\α}\{数组}$ $
(A2.8)
数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} R_{6}(\α,\σ)& = &左\ [R_{0}(σ\α,\)\]^ {1}\ \ & \ * & \ int \ limits_ {0} ^ {1} \ exp \离开(σ\ t ^{2} \右)I_{1} \左\α\√{1 - t ^ {2}} \) \ !\√6 {1 - t ^ {2}} t ^ {2} d t, \ \ \ \ R_{6}(\α,0)& = & \压裂{L_{3}(\α)}{\α}。\{数组}$ $
(A2.9)

在这里,k(x)的修正贝塞尔函数k订单,数量k涉及位置相关的和表达式节点的立方晶格,受限于缸大小:

数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} \ epsilon_{1} & = & \总和\ limits_ {j = 2} ^ {N} \压裂{1}{\波浪号{r} _ {1 j} ^ {3}} P_{2} \离开(\压裂{\波浪号{x} _ {1 j}}{\波浪号{r} _ {1 j}} \) \ simeq 2.0944 \{数组}$ $
(A2.10)
数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} \ epsilon_{2} & = & \总和\ limits_ {j = 2} ^ {N} \压裂{1}{\波浪号{r} _ {1 j} ^ {6}} {P_{2} ^{2}} \离开(\压裂{\波浪号{x} _ {1 j}}{\波浪号{r} _ {1 j}} \) \ simeq 3.3393 \{数组}$ $
(A2.11)
数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} \ epsilon_{3} & = & \总和\ limits_ {j = 2} ^ {N} \压裂{\波浪号{x} _ {1 j} ^{2} \波浪号{z} _ {1 j} ^{2}}{\波浪号{r} _ {1 j} ^ {10}} \ simeq 0.1915 \{数组}$ $
(A2.12)
数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} \ epsilon_{4} & = & \总和\ limits_ {j = 2} ^ {N} \压裂{1}{\波浪号{r} _ {1 j} ^ {9}} {P_{2} ^{3}} \离开(\压裂{\波浪号{x} _ {1 j}}{\波浪号{r} _ {1 j}} \) \ simeq 1.4880 \{数组}$ $
(A2.13)
数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} \ epsilon_{5} & = & \总和\ limits_ {j = 2} ^ {N} \压裂{1}{\波浪号{r} _ {1 j} ^ {9}} P_{2} \离开(\压裂{\波浪号{x} _ {1 j}}{\波浪号{r} _ {1 j}} \右){P_{2} ^{2}} \离开(\压裂{\波浪号{z} _ {1 j}}{\波浪号{r} _ {1 j}} \) \ \ & & \ simeq -0.7440 \{数组}$ $
(A2.14)
数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} \ epsilon_{6} & = & \总和\ limits_ {j = 2} ^ {N} \压裂{\波浪号{x} _ {1 j} ^{2} \波浪号{z} _ {1 j} ^{2}}{\波浪号{r} _ {1 j} ^ {13}} P_{2} \离开(\压裂{\波浪号{z} _ {1 j}}{\波浪号{r} _ {1 j}} \) \ simeq 0.0114 \{数组}$ $
(A2.15)
数组$ $ \开始{}{@ {}rcl@ {}} \ epsilon_{7} & = & \总和\ limits_ {j = 2} ^ {N} \压裂{\波浪号{y} _ {1 j} ^{2} \波浪号{z} _ {1 j} ^{2} \离开(8 \波浪号{x} _ {1 j} ^{2} - \波浪号{y} _ {1 j} ^{2} - \波浪号{z} _ {1 j} ^{2} \右)}{\波浪号{r} _ {1 j} ^ {15}} \ \ & & \ simeq -0.0318。\ \ \ \ \{数组}$ $
(A2.16)

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Solovyova,。,Sokolsky, S., Elfimova, E.et al。含有超顺磁的软磁性材料的热力学性质纳米颗粒冻的节点定期立方晶格。J Nanopart Res23日,139 (2021)。https://doi.org/10.1007/s11051 - 021 - 05268 - 4

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  • DOI:https://doi.org/10.1007/s11051 - 021 - 05268 - 4

关键字

  • 数学模型
  • 计算机模拟
  • 磁性纳米颗粒
  • 软磁性物质
  • 磁场
  • 热力学性质